圆的面积和半径绝对不会是无限的，那圆周率到底是不是有限的？
作者之所以提出这个问题，时把无穷和无限这两个概念搞混了。题目严格来说，应该这样表达：圆的面积绝对不会是“无穷大”的，圆的半径也绝对不会是“无穷大”的，那圆周率到底是不是有限的？这样说才对，而且这么已经修正，相信答案已经呼之欲出：
答：圆周率是一个有限大小的数字，但是小数个数却是无穷的。
无穷和无限
无穷和无限可以认为是形容词，一般形容大和小。比如说无穷大， 那就是说这个数字大的不能再大了。在数学上，无穷可以用符号∞表示，无穷大+∞，无穷小用-∞。无限形容的名词就比较多了，一般说的是个数，表示个数很多，多的无法统计。所以，我们可以说圆周率的位数无限，而不能说圆周率无限，因为圆周率π就一个。
圆周率
圆周率是圆形周长和直径的比值，是一个常数。虽然圆周率数字是常数，但是它的位数确实无限的，是一个无理数，我们无法直接写出完整的π。很多人不太理解，为何一个数有限大小，但是我们却写不尽。但其实数学上有很多这样的数，比如√2，√3等等，都是这样的树，我们可以在数轴上找到代表它们的点，但就是无法写出它们。为何会这样？就是因为数字是连续的。
但是现实世界却不一定这样，很多物理量是不连续的。特别是量子世界，比如能量，它就是不连续的，有一个最小的能量值。还有原子的轨道和能级等等，都是不连续的，和数字不一样。
无论圆的面积、周长和半径是否无限，圆周率π的小数位都是无限的，这是毫无疑问的。圆周率的大小不取决于圆的大小，圆周率是一个恒定的常数，只是这个常数不是有理数，而是无理数。圆周率的大小是有限的，只是小数位是无限的。
从数学上可以证明，对于任意一个圆，它的周长与直径之比以及面积与半径平方之比都是相等的常数，它就是圆周率。进一步证明表明，圆周率还是一个无限不循环的小数，它的小数位是永远也算不尽的。目前，人类用超级计算机把π的小数位算到了31.4万亿位。但纵使超级计算机的计算能力再怎么强大，也是无法算尽圆周率。
由于圆周率是无理数，那么，圆的面积、周长和半径之中都有可能是无理数。例如，如果一个圆的半径为1，那么，它的周长和面积的大小分别为2π和π。在这种情况下，半径为有理数，周长和面积都为无理数。
再假设圆的半径为1/π，那么，它的周长和面积的大小分别为2和1/π。在这种情况下，半径为无理数，周长为有理数，面积为无理数。
题主的意思大概是，由于圆的面积和半径不可能是无限循环的，所以π的值也不可能是无限循环的，而应该是一个有理数。
首先题主可能认为圆内的面积应该是一个有理数定值，不可能是无理数，然而没有任何定理规定圆的面积必须是一个有理数，实际上只要圆的半径是一个有理数，那么面积就必然是一个无理数，因为π乘以任何有理数的平方，都必然是无理数。
其次题主应该是犯了经验主义的错误，认为我们用尺子去测量，必然不可能把半径或周长量出无理数来，所以就想当然地认为圆面积不可能是无理数，参照我上一条的说法，这显然是错的。
和经验主义相反的是，只有半径为与π相关联的无理数x/根号π，圆的面积才可能是一个有理数，也就是说我们可以堂而皇之地宣称，这个圆的面积是25平方厘米，65平方米等等。所以我们永远无法用圆规实际画出一个面积正好等于某个有理数的圆，很显然，你圆规画出的圆，半径应该是一个有理数值，所以圆面积必然就是一个无理数。
好吧，绕得有点晕，实际只要记住一点，除了半径等于x/根号π的圆，所有圆的面积都是无理数；除了半径等于x/π的圆，所有圆的周长都是无理数。
刚刚想到的，不知道归纳穷尽没有，欢迎指正，谢谢。
圆周率是圆的周长与直径的比值，和面积没有关系，这一点需要澄清一下。圆周率顾名思义就是圆的周长与直径的比值而已。圆周率可以用希腊字母π来表示。
这里需要厘清几个概念：
首先，π是个无限不循环小数，而不是无限的
当我们知道直径是多少的时候，我们就可以用直径乘以π，求得周长是多少，同样，当我们知道周长是多少的时候，我们可以用周长除以π，得出直径是多少。这在实际运用中非常方便。我们可以根据精度的需要来取舍π的小数位数。当我们不需要很精确的时候，可以按3来计算，如果需要得很精确，那么就可以保留到3.14或者更多位数。
π是个无限不循环小数，数的大小在3.14至3.15之间。它就是一个实实在在的数字而已，只不过用小数的形式无法完整的把它的全部呈现在我们面前，只能用省略号表示没录的部分。
其次，要弄清楚π是怎么算出来的
大家知道，无理数一般都是由根号开出来的，比如根号2等于1.414……，这就是个无限不循环小数。那么，π是怎么算出来的呢？最初的时候，就是画一个足够大的圆，然后用精度好的尺子测出周长和直径进行计算就行了，但是，这样的话，难免会有误差的，所以我们的祖先们费了很大的劲，也只能精确到小数点后五六位。
再精确的测量都不如直接用数字计算来得精确。怎么通过不用测量就能计算出圆周率的数值呢？
原来，人们是用内切正多边形的周长来代替圆的周长来计算的。当内切正多边形是六边形的时候，周长与直径的比值为3，当变成正12边形的时候，这个比值就变成3.2左右了。因为在计算的时候用到斜边直角边的关系，就有了开平方，那么无理数也就出来了。
第三，圆周可以看成是一个正的无穷边形，因此π的计算永远不会停止
其实，任何一个整数都可以转化成一个无限循环小数，比如1=0.9999……。同样，圆也可以看成一个正的无穷边形，这样，π的值就可以无限的计算下去啦。
标签： 圆的面积教学反思
